一道关于高等数学微分中值定理的证明题目。

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分析：要证明存在一点，使得f'(x)＞1，即f'(x)-1＞0，而f'(x)-1是f(x)-x的导数，所以可以考虑对F(x)=f(x)-x使用中值定理，找到一个区间[a,b]，只要F(b)-F(a)＞0即可。

证明：令F(x)=f(x)-x，则F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，F(0)=0，F(1)=0。

f(x)在[0,1]上不恒等于x，所以存在一点η∈(0,1)，使得f(η)≠η，即F(η)≠0。

若F(η)＞0，则在[0,η]上使用拉格朗日中值定理，则存在一点ξ∈(0,η)，使得F'(ξ)=(F(η)-F(0))/η=F(η)/η＞0，所以f'(ξ)＞1。

若F(η)＜0，则在[η,1]上使用拉格朗日中值定理，则存在一点ξ∈(η,1)，使得F'(ξ)=(F(1)-F(η))/(1-η)=-F(η)/(1-η)＞0，所以f'(ξ)＞1。

结论得证。

仅供参考：

当x=1时，左边=0,右边=0;

当x>1时，两边同时除x-1，得到(x+1)lnx>x-1,即lnx>(x-1)/(x+1)

令f(x)=lnx-(x-1)/(x+1),

f'(x)=1/x-2/(x+1)^2=(x?+1) / [x(x+1)?]

f'(x)>0恒成立，所以f(x)单调递增，

即f(x)大于f(1)=0,所以f(x)>0，即（x^2-1)lnx>(x-1)^2

同理，当0<x<1时，得到(x+1)lnx<x-1,即lnx<(x-1)/(x+1)

令f(x)=lnx-(x-1)/(x+1),

f'(x)=1/x-2/(x+1)^2,有f'(x)>0恒成立，所以f(x)单调递增，

即f(x)小于f(1)=0,所以f(x)<0，即lnx-(x-1)/(x+1)<0,也就是(x+1)lnx<x-1 ，即，（x^2-1)lnx>(x-1)^2

综上所述，得证

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