小学四年级的孩子怎样预习？

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四年级孩子应该养成自己做作业的习惯。放学后自觉完成作业，完成作业后自己检查作业，最后自觉收拾好书本和文具。养成孩子自己做作业的习惯应该从低年级开始，但是如果低年级孩子还没有养成这一习惯，家长也不要着急，利用习惯行为训练法，用一个月的时间，就可以让孩子自觉认真地做作业。

首先，家长要让孩子认识到好孩子必须认真做作业。作业不是老师故意给孩子出难题，也不是老师给的一种负担，而是复习所学课程和学习新课程的重要环节，做作业也是一种学习。如果孩子将作业看作一种义务，试着喜欢做作业，那么做作业的过程就是愉快的。

其次，为孩子制定做作业的标准。例如写字要认真，姿态要端正，字体要工整，答案要正确，字面要整洁。这些标准同时也是老师所要求的，如果孩子这样做作业，就会得到老师的表扬，所以这些标准对孩子来说是很容易接受的。

再次，与孩子一起制定一个“自觉做作业行为训练计划”，为期一个月。在上述标准的要求下，在家长监督的前提下，要求孩子自己完成作业，并制定相应的物质性奖励措施。家长要兑现自己的承诺，激励孩子完成计划的热情，多给孩子表扬。随着孩子习惯的养成，奖励的频次和数量要逐步减少。一个月后，如果孩子已经养成了自觉做作业的习惯，家长也要注意经常检查孩子的作业，如果符合制定的标准，给孩子赞扬，为了鼓励孩子也可以偶尔给一些物质性的小小奖励。

家长需要注意的是，孩子在做作业的过程中如果遇到困难需要家长的帮助，家长不要将答案或者方法直接告诉孩子，而应该启发孩子自己寻找解题方法和答案。如果孩子在父母的启发下想到了答案，家长要夸奖孩子，鼓励他遇到难题以后要有信心，就像孙中山那样“愈挫愈奋”，难题肯定能够解决。其实，自己解决难题之后，孩子就会产生一种成功感和愉悦感，激励孩子在类似的情景下自己去努力解决。

形成学习数学的兴趣

数学是一门抽象的科学，即使是最简单的小学数学，即使是当前的小学数学非常注重与生活实际相结合和实际问题的解决，数学的抽象性特点仍然非常明显。很多孩子最初对语文有一种天然的亲和感，但是对数学却没有这种感受。小学四年级孩子的抽象思维能力开始破茧而出，对数学比较容易产生一种好奇感，如果家长引导得当，不难形成孩子学习数学的兴趣。

“数学好玩”的启示。2004年，已经93岁高龄的世界著名数学大师陈省身仍然思路敏捷，破解了困扰世界数学界50余年的一道难题。这一年大师获得了百万元的“邵逸夫奖”，南开大学也为他追加了一百万奖金，此外天空中一颗小行星也以“陈省身”的名字命名。他的成就世界闻名，对于数学，陈省身的评价是“数学就是好玩”，正是因为对数学感兴趣，陈省身才像一位乐此不疲的登山队员一样不断地攀登数学这座很多人不敢攀登的险峰。

怎样培养孩子学习数学的兴趣呢？

数学很有趣

让孩子认为数学很有趣，家长可以利用数学的奇趣吸引孩子。自然界中有很多数学问题，家长可以出个“很难”的数学题考考孩子，鼓励孩子克服这个难关，而一旦孩子成功解决了这一问题，家长要给予孩子鼓励。家长经常为孩子提供展开数学想像的奇趣空间，就会激发孩子学习数学的兴趣和好奇心。

例如：让孩子说出小三角形面积是大三角形面积的几分之几？

家长要鼓励孩子动脑子，想一想怎样才能够很容易地判断出两个三角形面积的数量关系，提示孩子可以将三角形的位置动一动。很多孩子首先想到的是将小三角形移到大三角形的一个角，但是还不能很容易地看出二者面积之间的数量关系。家长可以根据图中的三角形的大小关系，用纸片剪成两个三角形，让孩子用纸片进行比较。很快，一些孩子就会发现将小三角形倒置过来，大三角形就会立刻被分为四等份，那么大小三角形面积的数量关系一眼就可以看出来了。这个题目告诉孩子变形可以将复杂的问题简单化。

学过分数以后，给孩子出一个经典的数学趣题：

有位农夫共有11匹马，他临死的时候留下一份遗嘱：将财产的二分之一分给小儿子，将财产的四分之一分给小女儿，将财产的六分之一分给大女儿。农夫死后儿女们为分割财产伤透了脑筋，怎么办呢？最后还是一位邻居牵来自家的一匹马帮忙解决了这个难题，你知道是怎样解决的吗？

对于孩子来说，11不能够被6、4、2整除，这个问题难就难在这里。不过可以鼓励孩子开动脑筋，算一算如果加上邻居的一匹马，是否很容易就将马匹分开了？

像这种解决问题的方法就是在问题解决中引入一个量，用来帮助解决问题，这个量本身对数学问题的结果不会产生任何影响。这是一种非常重要的解决问题的一种方法。像这样有趣的数学问题有很多，家长可以很容易从资料中找一些诸如此类的问题。

四十二

数学很有用

数学很有用，通过成功解决问题可以引导孩子喜欢数学。家长可以通过很多例子说明数学是解决现实问题的重要工具。最好的办法是让孩子解决生活中的一些数学问题。解决问题可以使孩子重新理解数学，而不是单纯去背诵和记忆书本上现成的知识；可以使孩子充分发挥自己的才智，运用已有知识去创造性地解决新问题，并通过此过程学到数学的思想和方法；提高孩子学习数学的兴趣和信心。

家长一定要注意不要让孩子解决太难的数学问题，否则会给孩子带来打击。家长可设计一些情景，让孩子自己找出数学问题，并解决它。成功是让孩子体会到数学有用的一个重要方面，只有孩子认为自己能够解决一些现实问题，才能因为感到数学有用而激发浓厚的学习兴趣。

例如：妈妈要去商场买东西，一共需要买三件商品：铅笔盒7．2元，钢笔4．5元，笔记本3．8元，至少需要带多少钱？

家长可以问孩子这样的问题怎样解决，并让孩子提供帮助。还可以让孩子通过口算计算结果，以锻炼孩子的口算能力。

例如，如果亲友要搬家，可以让孩子算一算将床和厨子放在同一个房间里是否可以放得下；外出的时候测量出孩子的步长，在公园里或公共绿地估算出一些规则草坪或者花坛的面积，测量两个电线杆子之间的距离，或者从小路口到自家门前的距离等；认识生活和建筑中利用的各种几何图形，知道数学在生活中的用途是多么重要；经常有意识地引导孩子根据生活说出一些自己可以解决的数学问题，例如时间计算，面积和长度的测算，不同名数单位之间的换算，估算步行的速度和距离，分数和小数的应用等。

培养孩子的数学思维

包括我国在内，世界上新一轮数学课程改革的一个重要特征是突出强调数学思维的培养。各国小学数学课程标准或教学大纲中，十分重视数学思维能力的培养，认为应通过数学知识的掌握，使孩子熟悉数学的抽象概括过程，掌握数学中的逻辑推理方法，形成良好的思维品质和合理的思维习惯。到了中、高年级，孩子逻辑思维的萌芽出现了，让孩子逐步学会归纳思维和演绎思维的方法和步骤，学会进行猜测和论证。

然而，我国小学数学教育实践中尚未真正重视数学思维培养这一目标。很多人认为小学数学的教学内容过于简单，不可能很好地体现数学思维的特点。其实这是不对的，最简单的数学现象也是抽象的，蕴涵着数学思维的精华。例如，四年级孩子要学习长方形和正方形，孩子们很容易认识到所谓的长方形和正方形并不是老师手中的木质教具，也不是指长方形的窗户和正方形的饭桌，图形不是具体的任何物体，而是抽象的形状。同样，分数和小数在日常生活中也是不存在的，是人们根据需要创造出来的抽象的表示数的方式，2．5元钱表示面值分别是2元和五角两张或两枚钱币，而数字2．5却是抽象的，没有具体的物质性含义。所以，小学数学的教学内容也同样体现了一些十分重要的数学思维形式及其性质，帮助孩子学会基本的数学思想方法是培养孩子数学学习能力的重要内容。从一定意义上说，形成数学思维的意识是孩子未来数学学习是否能够成功的一个关键。

四十三

四年级孩子的逻辑思维能力刚刚萌发，抽象能力也有了进一步发展，家长应该抓住这一良好的时机，形成孩子的数学意识，培养孩子的数学思维能力。

数学思维要求孩子在解决问题的时候要更加注重探讨解决问题方法的思路，而不是关注问题的答案是否正确。也就是说，家长要教给孩子一些有价值的数学思考方法，例如：

图形变换思想：在解决一些几何问题时，常常会通过将图形进行简单的移动和转动，从而轻松地解决问题。如前文中关于两个三角形面积数量关系的例子。

用图表帮助解决问题的思想：一些复杂的应用题可能有几个条件，只要用图表将这些条件简单地标注下来，画成一幅关系图表，就可以很容易地将问题解决掉。一般来说，在画这类图表的时候要将同类型的条件对应起来，例如人数与人数对应，个数与个数对应，总数与总数对应；将条件的前后关系联系起来，例如一辆公共汽车经过几个站，前一站与后一站上下车的人数之间用线条联系起来，或者对齐列出来。

顺想与逆想：顺想就是顺着问题给出的条件一步一步得到所需要的结果，例如上述课间操排队的问题就是一个顺想的例子。但是有些情况下，顺想比较复杂，而从最后的条件往前想比较容易，这时候就要用逆向思维的方法解决问题。

假设的思想：四年级已经开始学习简单方程，家长应该培养孩子利用假设来解决问题的思想。其实利用假设来解决数学问题是数学思维的一种重要模式，可以简化思维，尤其是在解决一些逆想问题的时候更为简便。

消元思想：如果一个题目涉及到两个未知数，就要想办法去掉一个未知数，也就是将二元问题变成一元问题，这是数学简化思想的集中体现，将复杂的问题简单化，只有这样才能更容易解决问题。虽然四年级还没有涉及到二元或多元问题，但是家长可以让孩子接触一些简单的二元问题，让孩子了解二元的问题并不可怕，只要想办法消去一个未知数就可以了。这样做不仅可以开阔孩子的视野，还可以为今后学习多元函数打下基础。

代数思想：可以将具体的数用符号来表示，用符号表达数学运算的过程或者数学思想。家长可以有意识地逐步提升孩子抽象思维的能力，用符号代替具体的数，或者用未知数代替一个量，让孩子解决一些抽象的问题。抽象性是数学的根本特点，没有抽象就没有数学，代数是小学数学的一个重要组成部分。

概率和统计思想：四年级学到了简单的统计知识，蕴涵着丰富的概率思想。概率和统计是实践应用的重要工具，虽然来自于实践，但是其本身是抽象的。家长要结合生活中的一些现象向孩子介绍一些这方面的知识。

培养空间观念：空间观念是孩子今后学习数学特别是几何的关键，良好的空间想像力有助于孩子解决图形问题或者数形结合的问题。在生活中，空间观念培养的素材比比皆是，只要家长善于挖掘。

此外，家长要注重培养孩子思维的逻辑性和条理性，培养独立思考和创新思考数学问题的意识和能力，渗透一些重要数学观念，让孩子形成将数学与实际联系起来的意识。培养孩子思维的逻辑性和条理性应该要求孩子在解决数学问题的时候要讲道理，不可以异想天开，提出任何解决问题的方法或者列出任何算式，都要有依据，使孩子通过数学学习活动逐步形成灵活、缜密、具有创造性的思维品质。

四十四

数学知识的学习是环环相扣的

学习数学就是一步一步爬台阶，每个台阶就是一个新的数学领域，这些领域是环环相扣的一条链子，只要有一个环节没有学好，这条链子就会断开，就会有一层台阶缺失，孩子的数学学习就会遇到困难。要想使孩子爬得更高，家长要及时将断开的环节重新扣好，将缺失的台阶重新补上。

以人教社“九年义务教育六年制小学教科书”四年级数学课本为例，四年级的数学知识之间有着非常紧密的联系：

整数及其运算知识：亿以内的整数的读法和写法，整数的改写（改写成以“万”为单位的近似数）和比较，亿以内整数的加减法，乘法和除法的估算和口算，整数的简便算法，加减和乘除法的意义。整数的四则混合运算。（说明：亿以内整数的认知是在万以内整数认知的基础上完成的，又是今后认识亿以上整数的基础；加减乘除法的意义是在三年级以前学习加减和乘除运算的基础上进行的抽象和总结，同时也是学习简易方程的基础；整数的混合四则运算又是今后学习分数和小数混合运算的基础，同时也是学习两步和三步应用题的基础。）

分数知识：几分之几分数的意义、读法和写法，简单分数的加减法（分母相同）。（说明：简单分数是今后学习假分数、约分和带分数的基础，也是学习分数基本性质的基础。）

小数知识：小数的意义和读法，小数的性质和比较，小数点的移动和小数大小的变化，用小数表示复名数，求小数的近似数，小数的加减法。（说明：这些简单小数的知识是今后学习无限小数、带小数等复杂小数及其运算的基础，也是解决小数应用题的基础。）

简单几何知识：长方形和正方形的面积，周长和面积的比较，面积单位的进率，角度的度量，垂直和平行，三角形、平行四边形和梯形的认识。（说明：小学低年级已经接触过简单的图形如长方形和正方形，四年级求面积就是建立在以前基础上的；对其他图形的认识是今后学习复杂图形面积的基础，也是学习立体图形及其表面积和体积的基础。）

实际应用：地面距离的测量；简单的数据整理和求平均数。（说明：为以后求土地面积，以及对数据进行简单统计打下基础。）

应用题：分数和小数简单一步应用题，两步和三步应用题。（说明：四年级已经开始接触比较复杂的应用题，开始教给孩子利用假设未知数的方式解决问题，已经学习了小学阶段主要的应用题类型，是小学五、六年级学习复杂应用题的前提和基础。）

家长要及时地与孩子沟通，询问老师也是一个不错的方法，了解孩子数学学习链条的每一个环节，诊断孩子被困在哪个环节上。一旦了解到孩子的困难，就要将困惑孩子的数学链条重新连接上，制定一个可行的补课计划。这时候家长一定要有信心，数学不好的孩子一定能够赶上来。

四十五

数学学习的关键

四年级孩子学习数学的关键是将以前薄弱的基础重新补牢，不要在新的学习过程中让数学知识的链条断开。

重视基本概念的学习。数学概念是理解数学问题和解决问题的起点，如果基本的概念理解不清，在思考问题的过程中就会出现混乱，数学逻辑性的基本特征就无法体现，或者简单地说，概念理解不清就学不好数学。家长要了解孩子的学习进度，帮助孩子从不同侧面理解一些基本的概念。例如对各种数的理解，包括整数、小数、小数单位、分数、分数单位、估算、进率、整除等，对图形的理解如点、线、角、正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形、周长、面积等，对计量关系的理解如质量单位、长度单位、时间单位、面积单位及其进率等。这些基本的概念往往最能够体现数学的基本思想。因为概念比较抽象，家长要引导孩子进行简单的归纳推理，在具体的例子中逐渐体会抽象的概念。

多练习是学习数学的法宝。陈省身自幼喜欢数学，尽管对数学的兴趣是大师能够成功的重要因素，但是对于如何学习数学，大师的回答是“多练。就像打球一样，要打好球的最好办法就是多练，练的多才能打得好，光说不练没有用”。四年级孩子的抽象思维能力刚刚开始发展，对一些概念和算法的理解还需要通过具体的练习来加深和巩固。但是练习不是越多越好，练习也不是重复做同样的题，应该在保持孩子练习兴趣的基础上做一些典型的练习。

用多种方法解决问题，树立用简单方法解决问题的意识。利用多种不同的方法解决同一个问题，可以锻炼孩子的发散性思维，开拓解题思路，并更好地体会数学的基本思想。例如在解两步和三步应用题时，训练孩子用分步解题法、综合解题法、方程式解题法等不同方法解题，最后可以进行比较，看什么方法更为简便，用最简单的方法解决问题。将复杂的问题简单化是数学的基本思想，数学就是将真实世界的数量和图形进行简单化而形成的，能够用简单方法解决的问题，不要用复杂的方法去做。这需要孩子在解决具体的数学问题的过程中寻找简便的方法。例如在思考复杂问题的时候，用假设未知数的方法比直接列算式更为简便和清晰，而在解决简单问题的时候用直接列算式的方法更为简便。

学会预习和复习。四年级孩子要学会课前预习并定期复习，家长可以通过制定学习计划逐渐让孩子形成预习和复习的习惯。预习的关键是找出自己对新课内容的疑问，然后带着疑问去听老师的讲解。复习的关键是保证记住重要的知识点，确保学过的内容已经没有疑问，每个数学知识的链条是紧密闭合的。在复习的过程中要教给孩子学会总结学习数学的经验教训。四年级孩子很多不愿意做一些基本的加减乘除法练习，但是他们在做作业或者考试的时候经常因为马虎将一些简单的运算算错。让孩子自己总结自己学习过程中的弱点，比家长的说教要有效得多。建立“错题集”也是一种不错的总结方法。孩子在做作业和练习的过程中经常会出错，做错题是很正常的，但是要保证自己以后不犯同样的错误。“错题集”可以将自己曾经犯过的错误记录下来，以便以后借鉴。

小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。

4. 小数除法：

小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。

5. 乘方:

求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如 3 × 3 =32

（三）分数四则运算

1. 分数加法：

分数加法的意义与整数加法的意义相同。 是把两个数合并成一个数的运算。

2. 分数减法：

分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。

3. 分数乘法：

分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。

4. 乘积是1的两个数叫做互为倒数。

5. 分数除法：

分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。

（四）运算定律

1. 加法交换律：

两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a 。

2. 加法结合律：

三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b+c) 。

3. 乘法交换律：

两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a。

4. 乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即(a×b)×c=a×(b×c) 。

5. 乘法分配律：

两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即(a+b)×c=a×c+b×c 。

6. 减法的性质：

从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c) 。

（五）运算法则

1. 整数加法计算法则：

相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。

2. 整数减法计算法则：

相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。

3. 整数乘法计算法则：

先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。

4. 整数除法计算法则：

先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位； 如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。

5. 小数乘法法则：

先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。

6. 除数是整数的小数除法计算法则：

先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。

7. 除数是小数的除法计算法则：

先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。

8. 同分母分数加减法计算方法:

同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。

9. 异分母分数加减法计算方法:

先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。

10. 带分数加减法的计算方法:

整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。

11. 分数乘法的计算法则:

分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。

12. 分数除法的计算法则:

甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。

（5）和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数 关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。

解题关键：找准标准数（即1倍数）一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。

解题规律：和÷倍数和=标准数 标准数×倍数=另一个数

例:汽车运输场有大小货车 115 辆，大货车比小货车的 5 倍多 7 辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？

分析：大货车比小货车的 5 倍还多 7 辆，这 7 辆也在总数 115 辆内，为了使总数与（ 5+1 ）倍对应，总车辆数应（ 115-7 ）辆 。

列式为（ 115-7 ）÷（ 5+1 ） =18 （辆）， 18 × 5+7=97 （辆）

（6）差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。

解题规律：两个数的差÷（倍数－1 ）= 标准数 标准数×倍数=另一个数。

例 甲乙两根绳子，甲绳长 63 米 ，乙绳长 29 米 ，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳 长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？ 各减去多少米？

分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的 3 倍，实比乙绳多（ 3-1 ）倍，以乙绳的长度为标准数。列式（ 63-29 ）÷（ 3-1 ） =17 （米）…乙绳剩下的长度， 17 × 3=51 （米）…甲绳剩下的长度， 29-17=12 （米）…剪去的长度。

（7）行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。

解题关键及规律：

同时同地相背而行：路程=速度和×时间。

同时相向而行：相遇时间=速度和×时间

同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间=路程速度差。

同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×时间。

例 甲在乙的后面 28 千米 ，两人同时同向而行，甲每小时行 16 千米 ，乙每小时行 9 千米 ，甲几小时追上乙？

分析：甲每小时比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小时可以追近乙（ 16-9 ）千米，这是速度差。

已知甲在乙的后面 28 千米 （追击路程）， 28 千米 里包含着几个（ 16-9 ）千米，也就是追击所需要的时间。列式 2 8 ÷ （ 16-9 ） =4 （小时）

（8）流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。

船速：船在静水中航行的速度。

水速：水流动的速度。

顺水速度：船顺流航行的速度。

逆水速度：船逆流航行的速度。

顺速=船速＋水速

逆速=船速－水速

解题关键：因为顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与水速的差，所以流水问题当作和差问题解答。 解题时要以水流为线索。

解题规律：船行速度=（顺水速度+ 逆流速度）÷2

流水速度=（顺流速度逆流速度）÷2

路程=顺流速度× 顺流航行所需时间

路程=逆流速度×逆流航行所需时间

例 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行 28 千米 ，到乙地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比顺水多行 2 小时，已知水速每小时 4 千米。求甲乙两地相距多少千米？

分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速度和逆水的时间。已知顺水速度和水流 速度，因此不难算出逆水的速度，但顺水所用的时间，逆水所用的时间不知道，只知道顺水比逆水少用 2 小时，抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间，这样就能算出甲乙两地的路程。列式为 284 × 2=20 （千米） 2 0 × 2 =40 （千米） 40 ÷（ 4 × 2 ） =5 （小时） 28 × 5=140 （千米）。

（9） 还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。

解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。

解题规律：从最后结果 出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出原数。

根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的方法计算推导出原数。

解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号。

例 某小学三年级四个班共有学生 168 人，如果四班调 3 人到三班，三班调 6 人到二班，二班调 6 人到一班，一班调 2 人到四班，则四个班的人数相等，四个班原有学生多少人？

分析：当四个班人数相等时，应为 168 ÷ 4 ，以四班为例，它调给三班 3 人，又从一班调入 2 人，所以四班原有的人数减去 3 再加上 2 等于平均数。四班原有人数列式为 168 ÷ 4-2+3=43 （人）

一班原有人数列式为 168 ÷ 4-6+2=38 （人）；二班原有人数列式为 168 ÷ 4-6+6=42 （人） 三班原有人数列式为 168 ÷ 4-3+6=45 （人）。

（10）植树问题：这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题。

解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。

解题规律：沿线段植树

棵树=段数+1 棵树=总路程÷株距+1

株距=总路程÷（棵树-1） 总路程=株距×（棵树-1）

沿周长植树

棵树=总路程÷株距

株距=总路程÷棵树

总路程=株距×棵树

例 沿公路一旁埋电线杆 301 根，每相邻的两根的间距是 50 米 。后来全部改装，只埋了201 根。求改装后每相邻两根的间距。

分析：本题是沿线段埋电线杆，要把电线杆的根数减掉一。列式为 50 ×（ 301-1 ）÷（ 201-1 ） =75 （米）

（11 ）盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的。 他的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余），或两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。

解题关键：盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差，再求两次分配中各次共分物品的差（也称总差额），用前一个差去除后一个差，就得到分配者的数，进而再求得物品数。

解题规律：总差额÷每人差额=人数

总差额的求法可以分为以下四种情况：

第一次多余，第二次不足，总差额=多余+ 不足

第一次正好，第二次多余或不足 ，总差额=多余或不足

第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余

第一次不足，第二次也不足， 总差额= 大不足-小不足

例 参加美术小组的同学，每个人分的相同的支数的色笔，如果小组 10 人，则多 25 支，如果小组有 12 人，色笔多余 5 支。求每人 分得几支？共有多少支色铅笔？

分析：每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有 12 人，比 10 人多 2 人，而色笔多出了（ 25-5 ） =20 支 ， 2 个人多出 20 支，一个人分得 10 支。列式为（ 25-5 ）÷（ 12-10 ） =10 （支） 10 × 12+5=125 （支）。

（12）年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称为“年龄问题”。

解题关键：年龄问题与和差、和倍、 差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题是一种“差不变”的问题，解题时，要善于利用差不变的特点。

例 父亲 48 岁，儿子 21 岁。问几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍？

分析：父子的年龄差为 48-21=27 （岁）。由于几年前父亲年龄是儿子的 4 倍，可知父子年龄的倍数差是（ 4-1 ）倍。这样可以算出几年前父子的年龄，从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍。列式为： 21（ 48-21 ）÷（ 4-1 ） =12 （年）

（13）鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题

解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔”，然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数。

解题规律：（总腿数－鸡腿数×总头数）÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数

兔子只数=（总腿数-2×总头数）÷2

如果假设全是兔子，可以有下面的式子：

鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2

兔的头数=总头数-鸡的只数

例 鸡兔同笼共 50 个头， 170 条腿。问鸡兔各有多少只？

兔子只数 （ 170-2 × 50 ）÷ 2 =35 （只）

鸡的只数 50-35=15 （只）

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（二）分数和百分数的应用

1 分数加减法应用题：

分数加减法的应用题与整数加减法的应用题的结构、数量关系和解题方法基本相同，所不同的只是在已知数或未知数中含有分数。

2分数乘法应用题：

是指已知一个数，求它的几分之几是多少的应用题。

特征：已知单位“1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量。

解题关键：准确判断单位“1”的量。找准要求问题所对应的分率，然后根据一个数乘分数的意义正确列式。

3 分数除法应用题：

求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少。

特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。“一个数”是比较量，“另一个数”是标准量。求分率或百分率，也就是求他们的倍数关系。

解题关键：从问题入手，搞清把谁看作标准的数也就是把谁看作了“单位一”，谁和单位一的量作比较，谁就作被除数。

甲是乙的几分之几（百分之几）:甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙。

甲比乙多（或少）几分之几（百分之几）：甲减乙比乙多（或少几分之几）或（百分之几）。关系式（甲数减乙数）/乙数或（甲数减乙数）/甲数 。

已知一个数的几分之几（或百分之几 ) ,求这个数。

特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“1”的量。

解题关键：准确判断单位“1”的量把单位“1”的量看成x根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率相对应的已知实际

数量。

4 出勤率

发芽率=发芽种子数/试验种子数×100%

小麦的出粉率= 面粉的重量/小麦的重量×100%

产品的合格率=合格的产品数/产品总数×100%

职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数×100%

5 工程问题：

是分数应用题的特例，它与整数的工作问题有着密切的联系。它是探讨工作总量、工作效率和工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题。

解题关键：把工作总量看作单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后根据题目的具体情况，灵活运用公式。

数量关系式：

工作总量=工作效率×工作时间

工作效率=工作总量÷工作时间

工作时间=工作总量÷工作效率

工作总量÷工作效率和=合作时间

6 纳税

纳税就是把根据国家各种税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。

缴纳的税款叫应纳税款。

应纳税额与各种收入的（销售额、营业额、应纳税所得额 ……）的比率叫做税率。

* 利息

存入银行的钱叫做本金。

取款时银行多支付的钱叫做利息。

利息与本金的比值叫做利率。

利息=本金×利率×时间

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第二章 度量衡

一 长度

(一) 什么是长度

长度是一维空间的度量。

(二) 长度常用单位

* 公里(km) * 米(m) * 分米(dm) * 厘米(cm) * 毫米(mm) * 微米(um)

(三) 单位之间的换算

* 1毫米 ＝1000微米 * 1厘米 ＝10 毫米 * 1分米 ＝10 厘米 * 1米 ＝1000 毫米 * 1千米 ＝1000 米

二 面积

（一）什么是面积

面积，就是物体所占平面的大小。对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积。

（二）常用的面积单位

* 平方毫米 * 平方厘米 * 平方分米 * 平方米 * 平方千米

（三）面积单位的换算

* 1平方厘米 ＝100 平方毫米 * 1平方分米=100平方厘米 * 1平方米 ＝100 平方分米

* 1公倾 ＝10000 平方米 * 1平方公里 ＝100 公顷

三 体积和容积

（一）什么是体积、容积

体积，就是物体所占空间的大小。

容积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。

（二）常用单位

1 体积单位

* 立方米 * 立方分米 * 立方厘米

2 容积单位 * 升 * 毫升

（三）单位换算

1 体积单位

* 1立方米=1000立方分米

* 1立方分米=1000立方厘米

2 容积单位

* 1升=1000毫升

* 1升=1立方米

* 1毫升=1立方厘米

四 质量

（一）什么是质量

质量，就是表示表示物体有多重。

（二）常用单位

* 吨 t * 千克 kg * 克 g

（三）常用换算

* 一吨=1000千克

* 1千克=1000克

五 时间

（一）什么是时间

是指有起点和终点的一段时间

（二）常用单位

世纪、 年 、 月 、 日 、 时 、 分、 秒

（三）单位换算

* 1世纪=100年

* 1年=365天 平年

* 一年=366天 闰年

* 一、三、五、七、八、十、十二是大月 大月有31 天

* 四、六、九、十一是小月小月 小月有30天

* 平年2月有28天 闰年2月有29天

* 1天= 24小时

* 1小时=60分

* 一分=60秒

六 货币

（一）什么是货币

货币是充当一切商品的等价物的特殊商品。货币是价值的一般代表，可以购买任何别的商品。

（二）常用单位

* 元 * 角 * 分

（三）单位换算

* 1元=10角

* 1角=10分

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第三章 代数初步知识

一、用字母表示数

1 用字母表示数的意义和作用

* 用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果。

2用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式

（1）常见的数量关系

路程用s表示，速度v用表示，时间用t表示，三者之间的关系：

s=vt

v=s/t

t=s/v

总价用a表示，单价用b表示，数量用c表示，三者之间的关系:

a=bc

b=a/c

c=a/b

（2）运算定律和性质

加法交换律：a+b=b+a

加法结合律：（a+b)+c=a+(b+c)

乘法交换律：ab=ba

乘法结合律：（ab)c=a(bc)

乘法分配律：（a+b)c=ac+bc

减法的性质：a-(b+c) =a-b-c

（3）用字母表示几何形体的公式

长方形的长用a表示，宽用b表示，周长用c表示，面积用s表示。

c=2(a+b)

s=ab

正方形的边长a用表示，周长用c表示，面积用s表示。

c=4a

s=a?

平行四边形的底a用表示，高用h表示，面积用s表示。

s=ah

三角形的底用a表示，高用h表示，面积用s表示。

s=ah/2

梯形的上底用a表示，下底b用表示，高用h表示，中位线用m表示，面积用s表示。

s=(a+b)h/2

s=mh

圆的半径用r表示，直径用d表示，周长用c表示，面积用s表示。

c=∏d=2∏r

s=∏ r?

扇形的半径用r表示，n表示圆心角的度数，面积用s表示。

s=∏ nr?/360

长方体的长用a表示，宽用b表示，高用h表示，表面积用s表示，体积用v表示。

v=sh

s=2(ab+ah+bh)

v=abh

正方体的棱长用a表示，底面周长c用表示，底面积用s表示， 体积用v表示.

s=6a?

v=a?

圆柱的高用h表示，底面周长用c表示，底面积用s表示， 体积用v表示.

s侧=ch

s表=s侧+2s底

v=sh

圆锥的高用h表示，底面积用s表示， 体积用v表示.

v=sh/3

3 用字母表示数的写法

数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“.”，或者省略不写，数字要写在字母的前面。

当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写。

在一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量用不同的字母表示。

用含有字母的式子表示问题的答案时，除数一般写成分母，如果式子中有加号或者减号，要先用括号把含字母的式子括起来，再在括号后面写上单位的名称。

4将数值代入式子求值

* 把具体的数代入式子求值时，要注意书写格式：先写出字母等于几，然后写出原式，再把数代入式子求值。字母表示的是数，后面不写单位名称。

* 同一个式子，式子中所含字母取不同的数值，那么所求出的式子的值也不相同。

二、简易方程

（一）方程和方程的解

1方程：含有未知数的等式叫做方程。

注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。

方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时 ，方程才成立 。

2 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

三、解方程

解方程，求方程的解的过程叫做解方程。

四、列方程解应用题

1 列方程解应用题的意义

* 用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。

2 列方程解答应用题的步骤

* 弄清题意，确定未知数并用x表示；

* 找出题中的数量之间的相等关系；

* 列方程，解方程；

* 检查或验算，写出答案。

3列方程解应用题的方法

* 综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。这是从部分到整体的一种 思维过程，其思考方向是从已知到未知。

* 分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程。这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。

4列方程解应用题的范围

小学范围内常用方程解的应用题：

a一般应用题；

b和倍、差倍问题；

c几何形体的周长、面积、体积计算；

d 分数、百分数应用题；

e 比和比例应用题。

五 比和比例

1比的意义和性质

（1） 比的意义

两个数相除又叫做两个数的比。

“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。

比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。

比的后项不能是零。

根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。

（2）比的性质

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